Rodák z Rokycan patří mezi odchovance plzeňského hokeje. Nadání a také produktivitu začal ukazovat již v dorostu, ve kterém Plzni pomohl k zisku mistrovského titulu v sezoně 2016/17. Ve stejné době Filip Přikryl také začínal být pravidelně zvaný do mládežnických reprezentací.
Pro další hokejový posun se rozhodl vyrazit na zkušenou do zámoří. Zamířil do kanadské juniorky QMJHL, ve které hrál za klub Saint John Sea Dogs. Ve stejném ročníku se rovněž představil na mistrovství světa hráčů do 18 let.
Přikrylova zámořská mise ale trvala pouze jednu sezonu, po které se vrátil zpátky do Plzně. Po návratu už ovšem prorazil do seniorského hokeje. Dočkal se i první šance v extralize. Pro větší vytížení Filip nastupoval také v první lize za Litoměřice a v druholigových Klatovech.
Na západě Čech zůstal Přikryl až do sezony 2021/22, po které poprvé v rámci české nejvyšší soutěže změnil angažmá. Přestoupil do Českých Budějovic, kde strávil následující čtyři ročníky.
Vyjma prvního ročníku se Filipovi prakticky nestávalo, aby chyběl v sestavě Motoru. Za tři roky pouze dvakrát nenastoupil do zápasu. Jako opoře jihočeského mužstva se mu dařilo i střelecky. V posledních třech sezonách si připsal vždy alespoň deset gólů.
V Budějovicích si také získal pozornost trenérů seniorské reprezentace, od kterých dostal pozvánku na první reprezentační kemp. Čtyři ročník v Motoru ale Přikrylovi stačily. Pocítil potřebu změny. Tuto možnost mu nabídlo Kladno, kam před sezonou 2026/27 zamířil pro další posun v kariéře.
